La loi des grands nombres

La compréhension des probabilités est essentielle aux paris sportifs. Malheureusement, pour de nombreux parieurs, la valeur d’un pari sportif ce limite à la lecture de la cote. Le parieur sportif doit être guidé par la statistique pure, et notamment comprendre le principe de la loi des grands nombres

Dans cet article, nous te proposons de retourner dans la Suisse du XVIIe siècle, ou fut découverte la loi des grands nombres par Jacques Bernoulli. Cette loi est l’une des plus controversées du monde du jeu. Nous verrons également le biais qu’elle génère chez les parieurs. 

Qu’est-ce que la loi des grands nombres ? 

La loi des grands nombres est découverte XVIIe siècle par Jacques Bernoulli. Cette loi démontre que plus on répète un certain nombre de fois la même expérience, plus la probabilité d’un événement tend vers sa véritable valeur.

Pour l’illustrer, Bernoulli a pris l’exemple du jeu du pile ou face. Il y a 50 % de chance que la pièce tombe sur pile, et 50 % de chance que la pièce tombe sur face. Bernoulli a ainsi démontré que plus le nombre de lancers est grand, plus le pourcentage de chance d’obtenir pile ou face tendra vers 50 %. 

1er exemple de la loi des grands nombres 

Pour représenter cette loi, nous allons appliquer le jeu du lancer de pièce en simulant un nombre de lancers grâce à Excel. Pour chaque lancer ou le côté pile apparaîtra, nous noterons 1. Tandis que nous noterons 0 si le côté face apparaît. Ainsi, nous allons répéter cette expérience d’abord 10 fois, puis 101 fois et 1001 fois. Également à chaque lancer, nous avons recalculé la moyenne de pile et de face que nous avons obtenu. Rassure-toi, Excel l’a fait pour nous ! 

Ainsi, nous avons tracé des graphiques avec 2 courbes suivantes : 

La moyenne observée : c’est la moyenne des résultats de nos lancers que tu peux calculer grâce à cette formule. 

Paris sportifs calcul esperance obtenu

La moyenne théorique (ou attendue) : c’est la moyenne de notre expérience si nous lançons la pièce indéfiniment. Dans notre exemple, nous avons 50 % de chance de tomber aussi bien sur pile que sur face. Ainsi, notre moyenne théorique est de 50 %.

Les résultats

Paris sportifs bernoulli

Après avoir 10 lancers, nous avons obtenu 7 fois le coté pile, et 3 fois le coté face. Ainsi, nous obtenons une moyenne sur ces lancers de 70 %( ((7 × 1)+(3×0))/10=70 %). Nous sommes assez loin de la moyenne théorique, car nous avons une forte variance. Elle est représentée par les flèches rouges, qui représentent l’écart entre la moyenne observé et la moyenne théorique.

Une variance élevée revient à dire que nos résultats obtenus sont pour une partie importante dus au hasard. Bernoulli ne l’a pas dit directement, mais cela aura un impact pour notre activité dans les paris sportifs. Plus nous répétons un grand nombre de fois une même expérience, plus l’impact de la chance diminue. Cette diminution de la chance est traduite par la diminution de la variance. Voyons si cela ce produit lorsque nous réalisons 10 fois plus de lancers. 

Statistique pari sportif

Ici, nous avons réalisé 101 lancers. Nous avons obtenu davantage de fois le coté face que le coté pile. Surtout, ce que nous observons, c’est que notre espérance observée est cette fois à 53 %. Nous nous sommes considérablement approchés de la moyenne théorique. À présent, réalisons encore 10 fois plus de lancés.

Pari sportif statistique

Avec 1001 lancers, visuellement, nous avons obtenu plus de fois le coté pile que le coté face. Surtout, nous sommes tout proches de la moyenne théorique avec une moyenne observée de 51 %. Nous avons effectué un zoom avec un ordonnée compris entre 40 % et 60 %. Nous voyons clairement que nous nous rapprochons de plus en plus vers cette moyenne théorique.

La loi des grands nombres

Ainsi, cet exemple démontre que plus nous répétons de fois la même expérience, plus nous tendons vers la moyenne théorique et plus l’effet de la chance disparaît.

2ᵉ exemple de la Loi des grands nombres

Face à ce constat, nous avons voulu tester ce qu’il se passe si nous truquons les 10 premiers lancers ou nous obtenons uniquement le coté face. La probabilité réelle d’obtenir uniquement le coté face est de : 

Probabilité paris sportifs

Nos moyennes observées à la fin des 101ᵉ et 1001ᵉ lancers tendront elles toujours aussi facilement vers la moyenne attendue ? Voyons les résultats en image ci-dessous. 

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Ici, après 10 lancers, notre moyenne observée est de 0 car nous obtenons que des lancers du coté face. Nous sommes à l’extrémité de la moyenne attendue. 

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Malgré notre trucage, représenté en pointillé, nous observons que la répétition du nombre de lancers gomme de nouveau progressivement cet excès de chance. Elle tend de nouveau vers la moyenne attendu. Entre le 11ᵉ lancer et notre 101ᵉ lancer, nous sommes passés d’une moyenne observée de 0 à 42 % pour être au niveau de la moyenne théorique à notre 1001ᵉ lancer. Ainsi, malgré que nous ayons au départ seulement 0,09 % de chance de réaliser 10 lancers avec le coté face, plus nous répétons un nombre de fois le même événement, plus nous nous approchons de la moyenne attendue

Une remarque, dans cet exemple après 1001 lancers, les moyennes observées et théoriques se confondent. Alors que dans notre exemple précédant, la moyenne observée n’est pas aussi proche que la moyenne attendue (cela se joue à 1 %.). Cela s’explique parce que dans notre 1er exemple, la chance a eu davantage d’impact que dans notre exemple truqué. Néanmoins, en passant nos exemples à 10 000 lancers, la variance de notre premier exemple est plus faible que celui dans le deuxième exemple. De nouveau, la répétition d’un même événement a réduit l’impact de la chance

Résumé de la loi des grands nombres

La loi des grands nombres nous permet de tirer plusieurs conclusions que tu dois garder à l’esprit au moment de parier :

  • La taille compte : la loi s’applique aux très grands échantillons, d’où son nom. Des déviations sont possibles – des séries de courte durée d’un type de résultat sont possibles et naturelles.
  • L’estimation de la probabilité ne suffit pas. Tu peux avoir 90 % de chance de gagner un pari, tu peux très bien perdre tes 5 premiers paris. Le calcul de la probabilité donne des résultats aléatoires lorsque l’expérience n’est pas assez répétée. C’est ce que nous avons observé c’est que plus nous répétons un grand nombre de fois une même expérience, plus l’écart de la moyenne observée et de la moyenne attendue diminue. Toutefois, on observe une convergence des probabilités après un très grand nombre de répétitions.

La loi des grands nombres et l’illusion du joueur 

Pour mesurer la moyenne théorique, tu as besoin d’un historique des résultats d’une équipe dont tu souhaites analyser. Cela pose un problème, car tu peux solidement rester attaché à cette loi des grands nombres pour anticiper le futur. C’est le propre de la pensée humaine d’expliquer le monde qui nous entoure à travers des schémas répétitifs. Ainsi tu peux facilement penser que parce que cette équipe à gagner ces 10 derniers matchs contre cette équipe, alors elle gagnera le 11e. Cela est une erreur et s’explique par le biais que tous parieurs subissent. Nous allons voir dans l’exemple célèbre du sophisme de Monte-Carlo.

Prenons l’exemple du jeu de la roulette, si la boule tombe 7 fois d’affilés sur le noir, alors tu peux penser qu’il y a plus de chance que le 8e lancer ira dans le rouge. Cela est faux. Ce n’est pas parce qu’un résultat se réalise consécutivement un grand nombre de fois que la chance du résultat opposé est plus grande à la prochaine tentative si les événements sont indépendants entre eux. Comme nous l’avons vu plus haut à travers le lancer de pièce. Bien qu’il n’y ait que 0,09 % de chance de réaliser 10 lancers coté faces consécutivement, au 11e lancer, la pièce conservera toujours une chance sur deux de tomber sur pile ou sur face.

Le sophisme de Monte-Carlo

Cette erreur est ce que l’on appelle l’illusion du joueur ou le sophisme de Monte-Carlo. Il tire son nom de ce qu’il s’est passé dans la nuit du 18 août 1913 à dans la Principauté de Monaco. Dans le jeu de roulettes, quelques joueurs intrigués ont observé que la balle est allée 8 fois d’affilée sur le noir. Ainsi, ils ont pensé qu’il y aurait plus de chance qu’au prochain lancer que la balle aille dans le rouge.

Quelques lancers plus tard, la balle à continuer à aller sur le noir. Cela attira de plus en plus de personnes autour du jeu. Il est dit que chaque personne ne justifiait plus leur choix de miser plutôt sur le rouge ou sur le noir. En fait, les joueurs misaient à l’instinct, un instinct basé sur l’illusion du joueur. À la fin, la balle aurait atterri 26 fois d’affilés dans le noir. Des millions de francs ont été perdus par des joueurs qui croyaient à tort que la balle avait plus de chance d’arriver sur le rouge. Sachant que la probabilité que le rouge et le noir se rencontrent est de 50/50, ils ont supposé à tort qu’une longue série de coups d’une couleur était un écart anormal par rapport à la moyenne, qui devait se corriger.

Ils ont dans ce sens commis 3 erreurs :

  • Ils pensaient que la moyenne était une force de la nature qui devait corriger tous les écarts. En fait, la moyenne est un résultat statistique, que tu dois calculer à partir d’un très grand échantillon pour être représentatif. Vingt-six tours de roues n’est pas une taille d’échantillon suffisante.
  • Une probabilité de 50 % ne signifie pas que dans un échantillon de 100 tours, tu obtiendras exactement 50 rouges et 50 noirs. Cela signifie simplement que pour chaque tour suivant, tu as une chance sur deux d’obtenir du rouge ou du noir.
  • Ils ont sous-estimé l’indépendance des futurs résultats par rapport aux précédents. Ils ont pensé comme si la roue avait une mémoire.

Si tu souhaites en savoir plus sur l’aspect psychologique des paris sportifs, nous avons rédigé un article à ce sujet.

En conclusion

La loi des grands nombres reste de nos jours l’une des plus grandes découvertes jamais réalisées dans le monde de la statistique. Bien que les valeurs successives d’une variable sont imprévisibles, la somme de ces valeurs est tout à fait prévisible et est liée à la moyenne (ou espérance) de la variable. Néanmoins, tu dois faire attention aux erreurs d’interprétations que certains font pour éviter de tomber dans l’illusion du joueur

Si tu souhaites nous partager ton expérience sur ton utilisation de cette loi, ou si tu as des questions, écris-les-nous en commentaire. Nous prendrons le temps de répondre. 

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